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尺规作图的问题
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yinglongyxy



註冊時間: 2008-12-28
文章: 13

發表發表於: 星期五 一月 16, 2009 11:45 pm    文章主題: 尺规作图的问题 引言回覆

我看的是盗版的电子书,以下是相关段落:

  卢云竖指唇边,示意噤声,又从水桶里取出一只筷子,左右比对角度!便又就地画了起来,这回却画了个正六边。琼芳呆呆看着,只见卢云跳过了七边,直接画了八边,之后跳过九边,却又画了正十边,图样精细繁密,望来全是正边形状。
  眼看卢云画得如痴如狂,颇有疯态。琼芳心头发毛,忙道:“卢哥哥,你……你到底要做什么?”卢云并不理睬,反而趴倒在地,专注作图。这会儿画得却是极慢极缓,取角画线之际,慎重非常。琼芳见了他的郑重神态,自知他在做一门大学问,一时不敢阻拦,只得静静旁观。


  卢云却也没生气,颔首便道:“你说得没错。我解不出正七、正九、正十一、正十三这些正边图,我后来思索了两年,方才懂了一个道理。若要不凭尺规,空手造图,须得遵循一个通则。”他怕琼芳失却耐性,忙在地下写个“三”、又写个“五”,解释道:“正三边可以画,正五也可以画。等到我画出正十七之后,也发觉了一个顺序。瞧,三减一是二,五减一是四,十七减一是十六……你瞧出道理了么?”琼芳茫然道:“什么跟什么啊?”

  卢云给她一吼,不由吃了一惊,忙道:“我……我要画圆……”琼芳尖叫一声,随手在地下画了个大鸭蛋,大声道:“这不就是圆么?”卢云摇手道:“不对,不对,你那个不够圆,你的圆心偏差了。”琼芳见他疯疯癫癫,忍不住尖叫起来。卢云赶忙解释:“要想徒手画出正圆,那可不是容易事,我在水洞里画个几万个圆,只因手腕摇晃,差之毫厘,失以千里,全都不够圆。所以我另辟蹊径,盼能三边造五边,五边造十七边,一路拟近,好来画出方中带圆的东西。”

  那文士道:“要想不用尺规,徒手画圆,便有一个规矩,三边、五边、十七边、二百五十七边……都可以空手画出来……依次而上,便越来越像圆,到得六万五千五百三十七边时,那你就压根儿瞧不出它原来是方的了。”

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尺规作图的定义:
尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

高斯作正十七边形的时候当然是用尺规作的,而不是徒手画的,画圆用圆规就可以了,徒手勉强可以,方法是以拇指为圆心,一揸(就是把手尽量伸开,大拇指与中指指尖的距离)长度为半径,旋转中指就可以了,以前数学老师就是这么干的。小说中卢云作图也没有用圆规。我记得尺规作图好像只能有一把尺,如果两把尺就可以画出平行线来了。其实卢云很笨的,他为什么不作正十六,正二十四这一类图形呢,难度小多了,我国古代科学家计算圆周率的割圆术就是用的这一类,不停地割下去。。。。。
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yinglongyxy



註冊時間: 2008-12-28
文章: 13

發表發表於: 星期六 一月 17, 2009 3:33 am    文章主題: 引言回覆

我表达的不够清楚,就说画正六边形吧,首先得画出一个正圆来才行,但是小说中并没有提到圆规,比较合理的解释是卢云用两根筷子做了一个圆规。小说中有提到“左右比对角度”,尺规作图是不需要比对角度的。数学上说的作图都是尺规作图,而不是徒手作图,书中可以说是全写错了,不知道是不是因为盗版的缘故。另外,想要画方中带○可以用割圆术的方法来作,先画出正三边形或者正方形,然后每次乘以二就可以了,没有什么难度。
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woxinfeijian



註冊時間: 2005-12-03
文章: 105

發表發表於: 星期六 一月 17, 2009 4:31 am    文章主題: 引言回覆

lz太执着于色相了
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人生处处是深坑
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sunxiao孫曉



註冊時間: 2006-01-04
文章: 729
來自: 講武堂

發表發表於: 星期六 一月 17, 2009 8:45 am    文章主題: 引言回覆

敵方一劍劈來,此時受者只有一個切角相交而不受力,這個切角就是仁劍概念的起源。

劍連臂為徑,你出的劍,能畫得多接近正圓?蘇穎超每一劍都希望畫出弧,反而失敗了,盧雲的劍看似是直的,其實切角相觸的剎那,是逼近於圓的。

運用現代的話語闡述,就是如此。在下面有更大篇幅的數學猜想。
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sunxiao孫曉 在 星期六 一月 17, 2009 9:37 am 作了第 1 次修改
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sunxiao孫曉



註冊時間: 2006-01-04
文章: 729
來自: 講武堂

發表發表於: 星期六 一月 17, 2009 9:13 am    文章主題: 引言回覆

關於為何不以四、八、十六來作圖,盧雲當然可以畫方形,這只要平方根就可以了。從方形到八邊,也是平方根的運用,然而你若仔細看過英雄志,你就不會這樣問,因為盧雲不是要畫一個圓擺在那裡供著,他尋求的是出劍的剎那弧度。

我解釋如下。

無尺規作圖是代數幾何的演變。

舉例而言,給你一柄劍,在無尺規的條件下,請畫出該劍長度「平方」的長度。這個並不難解。

代數幾何可以求出解的,現實中也能不用尺規作圖。這就是盧雲選擇「正十七」的理由,因為它可以符合一個「猜想」。

邊數=2^(2^(n+1))+1

以上這個公式所畫出的多邊形,可在無尺規的條件下徒手作圖。

這是一個數學上的猜想,就像是有趣的「蜂窩猜想」,也是一種猜想。

當n=0,邊數=5
當n=1,邊數=17
當n=2,邊數=257
當n=3,邊數=65537

你如果能畫出正十七,應用同樣的代數解題原則,你可以不斷追求更高的邊數,直至無限逼近於圓。也就是說,盧雲正在計算他的劍可以畫出的弧線(以劍連臂為徑的力學原理),一個其實是直線的弧形(仁劍的哲學原理)。

盧雲一開始是從三邊、四邊、五邊往上尋找,慢慢他理解了一個作圖的原理,有些圖是無解的,然而他看到了一個猜想,也就是以上的公式,如果他能畫得出十七邊的長度(劍連臂的十七邊切弧),在這個同樣的作圖前提下,他就可以無限逼近於圓。

當達到那個境界時,出劍的剎那,那幾乎就完全不受力了。

資料不在手邊,僅就記憶回答,我知道讀者裡有一位數學名師,如有錯誤,還請指正。
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慕容春秋



註冊時間: 2006-05-04
文章: 2450
來自: 隔海眺望,有福之州

發表發表於: 星期六 一月 17, 2009 3:57 pm    文章主題: 引言回覆

话说我小时候的数学课程,代数相关的,我学得很好,几何相关的,我学得很差,话说我从来不记公理定义,当年中考某大题,我解题,一个复杂的公理定义都没用!
_________________
笑看浮云变幻时,静观沧海顺逆流!
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yinglongyxy



註冊時間: 2008-12-28
文章: 13

發表發表於: 星期六 一月 17, 2009 4:47 pm    文章主題: 引言回覆

sunxiao孫曉 寫到:

我解釋如下。

無尺規作圖是代數幾何的演變。

舉例而言,給你一柄劍,在無尺規的條件下,請畫出該劍長度「平方」的長度。這個並不難解。

代數幾何可以求出解的,現實中也能不用尺規作圖。這就是盧雲選擇「正十七」的理由,因為它可以符合一個「猜想」。

邊數=2^(2^(n+1))+1

以上這個公式所畫出的多邊形,可在無尺規的條件下徒手作圖。

這是一個數學上的猜想,就像是有趣的「蜂窩猜想」,也是一種猜想。

當n=0,邊數=5
當n=1,邊數=17
當n=2,邊數=257
當n=3,邊數=65537


上网搜了一下,原来很多人对书中的这种说法提出了质疑。

如果您所说的“无尺规作图”是指无刻度的尺规作图,那勉强还能理解。
尺规作图中,要作出正十七,首先要作出正圆才行,单靠尺子或剑是作不出正十七的。

您所说的“代數幾何可以求出解的,現實中也能不用尺規作圖”也没有根据,“平方”“开立方”等等就不能作出。

您所说的关于费尔马数的猜想其实也是不成立的,n=3以后,再也没能找到一个素数,所以您所说的“可以不斷追求更高的邊數,直至無限逼近於圓”是不可能的。

其实以中国古代的数学传统,卢云未必能得到画正十七的方法,因为中国古代求解高次方程多使用数值法,而非解析法。打个不恰当的比方,让卢云去画正十七就像让小学生去证明费尔马大定理。

不过英雄志只是武侠小说,不必求得数学上的完美。
仅仅提出一点浅见,希望不要影响您的写作进度。
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ppylj



註冊時間: 2006-05-06
文章: 70

發表發表於: 星期六 一月 17, 2009 6:27 pm    文章主題: 引言回覆

没看懂lz到底是要说什么,感觉你的质疑没有根据,像是在为了找出问题而提问题。还是我没看懂你高明的表达方式?
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伍崇卿.



註冊時間: 2008-01-12
文章: 231

發表發表於: 星期六 一月 17, 2009 11:11 pm    文章主題: 引言回覆

我这个立志成为一个职业数学家的人,在网上最不敢谈说的却恰恰是数学。

本人对小说中的数学问题(以及有无bug否)兴趣不大,总的说来,我认为这些在小说中是可以“虚写”的东西,纵然数学是最严谨的,但小说中的数学“虚晃一枪”还是允许的
lz要是学数学的应该对写书的持有宽容之心,体现下咱们学理工科的气量 哈哈
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sunxiao孫曉



註冊時間: 2006-01-04
文章: 729
來自: 講武堂

發表發表於: 星期日 一月 18, 2009 1:07 am    文章主題: 引言回覆

小5兄此言就不對了,作為一個老讀者,您應該很清楚,英雄志的「正十七」概念如果是錯誤的,邏輯上是不通的,那是非常嚴重的事,一部小說可以奇想,如「九陽神功」、如「內力」,反正在現實無法測量,所以不必深究。但「正十七」是數學,涉及了可證實的原理,所以我必須認真對待。

如果正十七的概念是錯的,英雄志就完了。

我認真用力的說明如下。

首先,費馬質數本來就是一個猜想,歐拉的證明(n=5)可以確認費馬的猜想是錯誤的,但費馬質數的失敗並不會影響盧雲的推論:「這樣能逼近於圓」。

一個正質數多邊形可以用尺規作圖的充分和必要條件是,該多邊形的邊數必定是一個費馬質數與一個2的非負整數次冪的乘積。換句話說,只有正3、正6、正12……邊形,正5、正10、正20……邊形,正17、正34……邊形,正257、正514……邊形和正65537、正131074……邊形,可以用尺規作出來。

我的書放在上海,現在無法引用,所以剛才上了網路並引用之,這是為了確認我當時研究的結果並無誤。

盧雲和高思的不同在於,高思運用尺規,盧雲空手。那這部份合理不合理?

回到前提,一部小說可以奇想,如「九陽神功」、如「內力」,反正在現實無法測量,所以不必深究。但可度量的部份必須符合現實。因此,我認為這部份並沒有問題,盧雲在小說裡做出來了,不論任何人要用什麼字眼來描述這段過程,他就是做出來了,一如侏羅紀公園裡的恐龍-----在已知的概念下發想----它就是做出來了。

那麼,正十七(仁劍)的應用概念到底是什麼呢?

先說我創造仁劍的思路,我的想法很簡單。任兩個東西的碰撞,都有力學上的角度,從而產生不同的破壞。仁劍可以找到一個最適切的角度,承接外來的力,而尋找這個角度的方式,就是找到一個實際可以畫出的「圓」。

盧雲的猜想是:「符合五、十七、二五七,都能徒手造圓。」也就是說,以他的臂長與劍長為半徑,他能畫出一個符合正十七邊形角度與長度的邊,接應敵人的招式,這是他思考「圓中有方」的一種方式。

也就是說,盧雲用他的劍,畫出以劍為半徑的正十七切角,接應敵人的招式,這當然還缺少了一個概念:「敵人的招式角度與自我的角度」,這才是正十七招式最大缺漏的部份。

關於武學,我回答到此。總之,我不認為以上的概念不符合任何物理原則。

最後,感謝您的質疑,您並不會影響我寫作的進度,相反的,可以讓我思考的更周延,謝謝您的指教。
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伍崇卿.



註冊時間: 2008-01-12
文章: 231

發表發表於: 星期日 一月 18, 2009 3:22 am    文章主題: 引言回覆

老孙太谨慎认真了,表扬一下

首先我还是坚持认为:
即使正十七的概念在数学或者物理上是存在问题的,英雄志当然还是没完的,事实上影响很小很小。
仁剑在《英雄志》中的意义最最重要关键的当然是哲学层面的,数学或者物理的角度仅仅只是一个包装。纵然三达是算术,仁剑正十七想揭示的却是“仁”的内涵。
武侠小说中的武学描写,个人认为有一个界限,那就是——在各种定理、定律约束下,可以含糊处理(亦即我之前说的“虚晃一枪”),但最好不要“错”。金庸以前也遇到过类似的问题,他称之为“和物理撞了一下腰”,原因在于他写到一个(忘了是谁,好像是张无忌吧)从井底腾空而出靠的却是左脚踏右脚而发力,这个显然是违反力学定律的。不过纵然如此,也没见多人少真的把这太当一回事,金庸的成就地位又岂会因此而毁呢。所以孙晓没必要过于敏感。

其次,个人觉得仁剑的使出招式在描写上确实很含糊。个人觉得在武侠小说中对招式的描写处理能达到这样的程度这样就够了。文学毕竟不是数学。
人们对仁剑的招式可以大致想象,但又觉得似是而非,似乎心里总有些疑惑。
到底是怎么画出来的,又是怎么画?
没看到孙晓上面这段文字之前惭愧的说我一直没想通这些相关问题。
做一个正十七边形这个用点心去网上搜索一番还是可以理解的,当然当年鄙人尝试自己画由于受限资质学识是没有画出来的.....汗一个
但是如何对应于武学呢?
人家随意一个方向攻过来你的圆也好正十七也好具体的防御机制是如何?
忽悠一下可以说就几个字:化方为圆,以圆荡开敌方攻势。
可是他能畫出一個符合正十七邊形角度與長度的邊
这是有问题的,仅仅只画一个边的画那还不如不画,那什么也荡不开的。
要借力或者荡力至少是需要两条边组成一个“角”的吧
还有,仅仅有“长度”是不够的,更重要的是还需要“角度”,否则成不了正十七。这点在目前章节中似乎欠缺了一些说明,日后英雄志若有修订版可以考虑多加几笔。


如果楼主或者孙晓非要继续深究的话(个人觉得没那个必要)
建议你们二位以数学命题的形式就如下几个问题做清晰的陈述与讨论:

该命题的条件,即卢云拥有的条件是什么,徒手或者类圆规?他能做到的是哪些事情(比如画一条直线,画一个方形)?
他的正十七(具体怎么画出来就没必要问了,否则就成了数学科普了)是如何应对敌方攻势的,即防守机制是如何?(如何具体从长度到角度协调起来)(上面我强调了,孙晓刚说的仅仅画一个边是不行的)


至于楼主的几个问题,
1为什么不画圆?
因为正的圆比方要难画——在人控制剑的条件下
2为何不画4,8,16,32等倍数?这些同样接近圆啊.
他的解释在那,不过我建议你们先澄清一下我上面开始的那个命题条件,这个不先交待清楚后面更加没法讲了.
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伍崇卿.



註冊時間: 2008-01-12
文章: 231

發表發表於: 星期日 一月 18, 2009 3:36 am    文章主題: 引言回覆

事实上,我对英雄志最大的担心压根不是什么——仁剑的数学
而是——勇剑的哲学。
这点野狗孙君真的要再三谨慎
这是最后而最重的一笔,它几乎就是英雄志,或者说孙晓给出的自己的——结论了
它是如此的重要,所以它的成败很大程度上决定了英雄志的成败。
点睛之笔如果点歪了,那最后成的也许就不是龙了。

我以前说过,还要再说一次,如果有人在黑暗中拿着棍棒等着暗算你,我提前告诉你,这些人多半等的就是这。而他们,都不会超过30岁,(笑)

不过回头一想说这意义也不大。
你当然是一开始就有了“勇剑大于六道”然后才写英雄志的,不是么
所以也许你这一生都相信这一点,也许你这十年来一直在思考或者反思这一点。
总之,你如果没悠着,那么一开始就没悠着,现在将来也不打算悠着
如果你悠着在,那么悠着也是悠着....


我这么晚还在这里辛苦码字,野狗克要发点工资我啊(大笑而去)
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sunxiao孫曉



註冊時間: 2006-01-04
文章: 729
來自: 講武堂

發表發表於: 星期日 一月 18, 2009 9:48 am    文章主題: 引言回覆

謝謝,以後請你喝酒。
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awakening



註冊時間: 2006-05-26
文章: 2852
來自: 加拿大多伦多

發表發表於: 星期一 一月 19, 2009 10:00 am    文章主題: 引言回覆

喝酒,.... where?

Mouth watering...........
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长车



註冊時間: 2007-08-15
文章: 233
來自: China

發表發表於: 星期三 一月 28, 2009 2:44 am    文章主題: 引言回覆

伍崇卿. 寫到:
事实上,我对英雄志最大的担心压根不是什么——仁剑的数学
而是——勇剑的哲学。
这点野狗孙君真的要再三谨慎
这是最后而最重的一笔,它几乎就是英雄志,或者说孙晓给出的自己的——结论了
它是如此的重要,所以它的成败很大程度上决定了英雄志的成败。
点睛之笔如果点歪了,那最后成的也许就不是龙了。

我以前说过,还要再说一次,如果有人在黑暗中拿着棍棒等着暗算你,我提前告诉你,这些人多半等的就是这。而他们,都不会超过30岁,(笑)

不过回头一想说这意义也不大。
你当然是一开始就有了“勇剑大于六道”然后才写英雄志的,不是么
所以也许你这一生都相信这一点,也许你这十年来一直在思考或者反思这一点。
总之,你如果没悠着,那么一开始就没悠着,现在将来也不打算悠着
如果你悠着在,那么悠着也是悠着....


我这么晚还在这里辛苦码字,野狗克要发点工资我啊(大笑而去)


老伍这几句,相当有同感,我也一直在想勇剑的问题,猜到一点,担心孙晓怎么写
_________________
卢云天生就是做圣光的料:
父母早亡故,老婆有备胎。
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